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    集合与函数的概念、性质及应用

    2 牛红国 2014-10-16 20:09
     

              集合与函数的概念、性质及应用

    【热点聚焦】

    集合是高中数学中的基本概念之一,也是历届高考的必考点。考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用文氏图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练.;函数的单调性是函数的核心内容,也是高考重点考查的知识,主要包括对函数单调性定义的考查,对函数图象的考查,对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等;函数的奇偶性也是函数的一个重要的性质,在高考试题中有关函数奇偶性的试题屡见不鲜。

    【基础知识】

    1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

    2. 集合的性质:

    任何一个集合是它本身的子集,记为

    空集是任何集合的子集,记为

    空集是任何非空集合的真子集;

    如果,同时,那么A = B.

    如果.

    []

    Z= {整数}(√)   Z ={全体整数} (×)

    已知集合S A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×)(例:S=N A=,则CsA= {0}

    空集的补集是全集.           

    若集合A=集合B,则CBA = CAB  =     CSCAB= D     CAB  = .

    3. {xy|xy =0xRyR}坐标轴上的点集.

    {xy|xy0xRyR二、四象限的点集.   

    {xy|xy0xRyR} 一、三象限的点集.

    []:①对方程组解的集合应是点集.

    例:   解的集合{(21)}.

    ②点集与数集的交集是. (例:A ={(xy)| y =x+1}  B={y|y =x2+1} 

    AB =

    4. n个元素的子集有2n.  n个元素的真子集有2n 1.   n个元素的非空真子集有2n2.

    5.增函数、减函数的定义

    一般地,对于给定区间上的函数fx),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1x2,当x1x2时,都有fx1)<fx2)〔或都有fx1)>fx2)〕,那么就说fx)在这个区间上是增函数(或减函数).

    如果函数y=fx)在某个区间上是增函数(或减函数),就说fx)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做fx)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间.

    6.函数单调性可以从三个方面理解

    1)图形刻画:对于给定区间上的函数fx),函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减.

    2)定性刻画:对于给定区间上的函数fx),如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减.

    3)定量刻画,即定义.

    上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.

    7讨论复合函数单调性的根据:设y=fu),u=gx),x∈[ab],u∈[mn]都是单调函数,则y=fgx)]在[ab]上也是单调函数.

    1)若y=fu)是[mn]上的增函数,则y=fgx)]与u=gx)的增减性相同;

    2)若y=fu)是[mn]上的减函数,则y=fgx)]的增减性与u=gx)的增减性相反.

    8.奇函数:对于函数fx)的定义域内任意一个x,都有f(-x=fx)〔或fx+ f(-x=0〕,则称fx)为奇函数.

    9.偶函数:对于函数fx)的定义域内任意一个x,都有f(-x=fx)〔或fx)-f(-x=0〕,则称fx)为偶函数.

    10.奇、偶函数的性质

    1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

    2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

    3)若奇函数的定义域包含数0,则f0=0.

    4)奇函数的反函数也为奇函数.

    5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数fx)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

    11.方法与技巧

    .函数的奇偶性是函数的整体性质,即自变量x在整个定义域内任意取值.,有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.

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