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郑州一中港区实验学校校长工作室

工作室资料
郑州一中港区实验学校校长工作室名称:郑州一中港区实验学校校长工作室
主持人及助理
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  • 成员数 9
  • 话题数 838
  • 回帖数 281

工作室介绍
本工作室位于郑州市航空港综合实验区郑州一中国际航空港实验学校内,工作室现有成员9人,主持人为郑州一中国际航空港实验学校刘点点校长,助理为郭秀云。本工作室以科学发展观为指导,以创办人民满意的学校为目标,通过学习、交流、研讨和科研等方式来促进校长的专业化成长,提升校长管理理念,提高区域化办学水平。

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初中 - 郑州一中港区实验学校校长工作室

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    一元一次方程题型解析

    周伟杰 2019-11-24 20:29

    5.行程问题


    (一)知识点


    1.行程问题中的三个基本量及其关系:

    路程=速度×时间   时间=路程÷速度   速度=路程÷时间


    2.行程问题基本类型

    (1)相遇问题:  快行距+慢行距=原距

    (2)追及问题:  快行距-慢行距=原距

    (3)航行问题:  顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度

    逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

    抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系


    (二)例题解析


    1.从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲、乙两地相距x千米,则列方程为_____ 。


    解:等量关系   步行时间-乘公交车的时间=3.6小时    

    列出方程是:X/8-X/40=3.6


    2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米,可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?


    解:等量关系 

    ⑴  速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程

     ⑵  速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间-15分钟


    提醒:速度已知时,设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。


    方法一:设预定时间为x小/时,则列出方程是:15(x-0.25)=9(x+0.25)

    方法二:设从家里到学校有x千米,则列出方程是: 

    X/15+15/60=X/9-15/60


    3.一列客车车长200米,一列货车车长280米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3:2,问两车每秒各行驶多少米?


    提醒:将两车车尾视为两人,并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

    等量关系:快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和

    设客车的速度为3X米/秒,货车的速度为2X米/秒,

    则 16×3X+16×2X=200+280


    4.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km,骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车的人的时间是26秒。

    ⑴ 行人的速度为每秒多少米?

    ⑵ 这列火车的车长是多少米?


    提醒:将火车车尾视为一个快者,则此题为以车长为提前量的追击问题。


    等量关系:

    ① 两种情形下火车的速度相等  

    ② 两种情形下火车的车长相等


    在时间已知的情况下,设速度列路程等式的方程,设路程列速度等式的方程。


    解:

    ⑴ 行人的速度是:3.6km/时=3600米÷3600秒=1米/秒

    骑自行车的人的速度是:10.8km/时=10800米÷3600秒=3米/秒


    ⑵ 方法一:设火车的速度是X米/秒,则 26×(X-3)=22×(X-1)  解得X=4

    方法二:设火车的车长是x米,则(X+22×1)/22=(X+26×3)/26


    6.一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时,步行的速度是5千米/时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。


    问:步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)


    提醒:此类题相当于环形跑道问题,两者行的总路程为一圈,即步行者行的总路程+汽车行的总路程=60×2


    解:设步行者在出发后经过X小时与回头接他们的汽车相遇,则   5X+60(X-1)=60×2


    7.某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地,这样便可在规定的时间到达B地,但他因事将原计划的时间推迟了20分,便只好以每小时15千米的速度前进,结果比规定时间早4分钟到达B地,求A、B两地间的距离。


    解:方法一:设由A地到B地规定的时间是 x 小时,则

    12x=15×(X-20/60-4/60) 

    X=2

    12X=12×2=24(千米)  


    方法二:设由A、B两地的距离是 x 千米,则(设路程,列时间等式)

    X/12-X/15=20/60+4/60

    X=24 

    答:A、B两地的距离是24千米。


    温馨提醒:当速度已知,设时间,列路程等式;设路程,列时间等式是我们的解题策略。


    8.一列火车匀速行驶,经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是10s,根据以上数据,你能否求出火车的长度?火车的长度是多少?若不能,请说明理由。


    解析:只要将车尾看作一个行人去分析即可,前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长,后者仅为此人通过一个车长。

    此题中告诉时间,只需设车长列速度关系,或者是设车速列车长关系等式。


    解:方法一:设这列火车的长度是x米,根据题意,得

    (300+X)/20=X/10

    x=300 

    答:这列火车长300米。


    方法二:设这列火车的速度是x米/秒,

    根据题意,得

    20x-300=10x  x=30   10x=300  

     答:这列火车长300米。


    9.甲、乙两地相距x千米,一列火车原来从甲地到乙地要用15小时,开通高速铁路后,车速平均每小时比原来加快了60千米,因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达,列方程得________ 。


    X/10-X/15=60


    10.两列火车分别行驶在平行的轨道上,其中快车车长为100米,慢车车长150米,已知当两车相向而行时,快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。

    ⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少?

    ⑵ 如果两车同向而行,慢车速度为8米/秒,快车从后面追赶慢车,那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒?


    解析:① 快车驶过慢车某个窗口时:研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题,此时行驶的路程和为快车车长!

    ② 慢车驶过快车某个窗口时:研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题,此时行驶的路程和为慢车车长!

    ③ 快车从后面追赶慢车时:研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题,此时行驶的路程和为两车车长之和!


    解:⑴ 两车的速度之和=100÷5=20(米/秒)  

    慢车经过快车某一窗口所用的时间=150÷20=7.5(秒)

    ⑵ 设至少是x秒,(快车车速为20-8)

    则   (20-8)X-8X=100+150    

    X=62.5

    答:至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。


    11.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时,甲先到达B地后,立即由B地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。


    解:设乙的速度是X千米/时,则 

    3X+3 (2X+2)=25.5×2

    ∴ X=5

    2X+2=12

    答:甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。


    12.一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。


    解:设船在静水中的速度是X千米/时,则

    3×(X-3)=2×(X+3)

    解得x=15  2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)

    答:两码头之间的距离是36千米。


    13.小明在静水中划船的速度为10千米/时,今往返于某条河,逆水用了9小时,顺水用了6小时,求该河的水流速度。

    解:设水流速度为x千米/时,

    则9(10-X)=6(10+X)  

    解得X=2

    答:水流速度为2千米/时


    14.某船从A码头顺流航行到B码头,然后逆流返行到C码头,共行20小时,已知船在静水中的速度为7.5千米/时,水流的速度为2.5千米/时,若A与C的距离比A与B的距离短40千米,求A与B的距离。


    解:设A与B的距离是X千米,(请你按下面的分类画出示意图,来理解所列方程)

    ① 当C在A、B之间时,X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20

    解得x=120

    ② 当C在BA的延长线上时,

    X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20

    解得x=56

    答:A与B的距离是120千米或56千米。


    6.环行跑道与时钟问题


    (一)例题解析


    1.在6点和7点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合?

    解析:6:00时分针指向12,时针指向6,此时二针相差180°,在6:00~7:00之间,经过x分钟当二针重合时,时针走了0.5x°分针走了6x°

    以下按追击问题可列出方程,不难求解。


    解:设经过x分钟二针重合,

    则6x=180+0.5x  

    解得  X=360/11


    2.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑240米,乙每分钟跑200米,二人同时同地同向出发,几分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇?

    提醒:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击与相遇问题。


    解:① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇,则

    240X-200X=400

    X=10

    ② 设背向跑,X分钟后相遇,则

    240x+200X=400

    X= 1/11


    3.某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准,则当天中午该钟表指示时间为12时50分时,准确时间是多少?


    解:方法一:设准确时间经过X分钟,则

    x∶380=60∶(60-3)   

    解得x=400分=6时40分

    6:30+6:40=13:10

    方法二:设准确时间经过x时,则 

    3/60×(X-6.5)=X-12×5/6


    7.若干应用问题等量关系的规律


    (一)知识点


    (1)和、差、倍、分问题 

    此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。


    增长量=原有量×增长率

    现在量=原有量+增长量


    (2)等积变形问题 

    常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变。


    ①柱体的体积公式  

    V=底面积×高=S·h= r2h(2为平方)

    ②长方体的体积 

    V=长×宽×高=abc


    (二)例题解析


    1.某粮库装粮食,第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍,如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中,第二个仓库中的粮食是第一个中的 。问每个仓库各有多少粮食?


    设第二个仓库存粮X吨,则第一个仓库存粮3X吨,根据题意得

    5/7×(3X-20)=X+20

    X=30   3X=90


    2.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米, π≈3.14)


    设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得 

    π·(200/2)2x=300×300×80(X前的2为平方)

    X≈229.3

    答:圆柱形水桶的高约为229.3毫米


    3.长方体甲的长、宽、高分别为260mm,150mm,325mm,长方体乙的底面积为130×130mm2,又知甲的体积是乙的体积的2.5倍,求乙的高?


    设乙的高为 Xmm,根据题意得

    260×150×325=2.5×130×130×X

    X=300


    8.数字问题


    (一)知识点


    (1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。


    (2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。


    (二)例题解析


    1. 一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍,求这个三位数。


    解:设这个三位数十位上的数为X,则百位上的数为X+7,个位上的数是3x

    x+x+7+3x=17      解得x=2

    x+7=9,3x=6   答:这个三位数是926


    2. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数。


    等量关系:原两位数+36=对调后新两位数


    解:设十位上的数字X,则个位上的数是2X,

    10×2X+X=(10X+2X)+36

    解得X=4,2X=8,

    答:原来的两位数是48。


    9.日历问题


    (一)知识点


    日历中的规律:横行相邻两数相差1,竖行相邻两数相差7。


    (二)例题解析


    1.如果某一年的5月份中,有5个星期五,且它们的日期之和为80,那么这个月的4号是星期几?

    设第一个星期五为x号,依题意得:
    x+x+7+x+14+x+21+x+28=80,
    5x+70=80,
    5x+70-70=80-70,
    5x÷5=10÷5,
    x=2.
    因此这个月的4日是星期日
    答:这个月的4号是星期日


    2.下表是2011年12月的日历表,请解答问题:在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数,
    (1)若框出的4个数的和为74,请你通过列方程的办法,求出它分别是哪4天?
    (2)框出的4个数的和可能是26吗?为什么?



    (1)设第一个数是x,
    则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1,x+6,x+7,
    则:x+x+1+x+6+x+7=74,
    解得:x=15;
    所以它分别是:15,16,21,22;
    (2)设第一个数为x,则4x+14=26,4x=12,x=3,
    本月3号是周六,由平行四边形框框出4个数,
    得出结论:无法构成平行四边形。

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